‫highmathbb‬

גופים תלת מימדיים בתכנית לימודים
ישנה הסכמה שחשיבה מרחבית חשובה ללימוד נושאים מתמטיים מגוונים. אחת המטרות של לימוד גאומטריה הוא פיתוח חשיבה מרחבית.
כבר תכנית הלימודים בבית הספר היסודי במתמטיקה שמה לה למטרה להדגיש את לימוד הגיאומטריה בכלל ואת הכרת הגופים התלת מימדיים בפרט. בין ההדגשים העיקריים של התכנית יש דגש על פיתוח התפיסה החזותית במישור ובמרחב תוך התמקדות במטרות הבאות:
- פיתוח כשרים גיאומטריים.
- פיתוח יכולת חקירת צורות וגופים גיאומטריים ותכונותיהם.
- עידוד יצירת דימויים חזותיים עשירים של מושגים גיאומטריים.
- פיתוח יכולת הזיהוי של קשרים לוגיים בין העובדות הגיאומטריות.
- טיפוח חקירת הקשר בין הצורות והגופים הנלמדים לבין העצמים והתופעות בסביבת התלמידים.

מטרת היחידה
יחידה זו עוסקת ביכולות המאפיינות תובנה מרחבית.
דיין ופטקין (על"ה 44, 2011) מחלקים את מכלול הראייה המרחבית לשלושה סוגים:
- יכולת רוטציה שכלית – יכולת למצוא במהירות ובדיוק דגם זהה של צורה הנתונה במרחב;
- יכולת לקבוע יחסים מרחביים ביחס לכיוון של הגוף העצמי, תוך התעלמות ממידע מסיח;
- יכולת לבצע מניפולציות מורכבות ורב שלביות לגבי מידע מורחב.

ביחידה שלוש סדנאות לשלושת הסוגים הנ"ל:
סדנה 1: יכולת רוטציה שכלית
סדנה 2: יכולת לקבוע יחסים מרחביים ביחס לכיוון של הגוף העצמי, תוך
התעלמות ממידע מסיח
סדנה 3: יכולת לבצע מניפולציות מורכבות ורב שלביות לגבי מידע מורחב
סדנה 4: הגופים האפלטוניים

‫המעגל ומקומות גאומטריים אחרים‬

‫גאולה ומרכז המורים‬ — Sun, 26 Aug 2012 11:07:45 +0000

המעגל ומקומות גאומטריים אחרים

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

יחידה זו עוסקת במקומות גאומטריים ובפרט במעגל. בעיסוק במעגל נתמקד בשני דיונים:
- שקילות ההגדרות של מעגל.
- שינוי מושג המעגל בהתאם להגדרות שונות של מרחק בין נקודות.

‫יחס, פרופורציה ודמיון‬

‫גאולה ומרכז המורים‬ — Sun, 26 Aug 2012 10:59:29 +0000

יחס, פרופורציה ודמיון

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

הקניית החשיבה הפרופורציונאלית נחשבת כציון דרך בהתפתחות הקוגניטיבית של התלמיד. על חשיבותה של החשיבה הפרופורציונאלית בתוכנית הלימודים ניתן ללמוד גם מתוך תוכנית הלימודים עצמה וגם בעקרונות ובסטנדרטים של Commom Core State Standards Initiative (CCSSI), הרואים חשיבות רבה בפיתוח ההבנה והיישום של חשיבה פרופורציונאלית ויחס בפתרון בעיות מחיי היום יום. ראשית הוראת הנושא כבר בבית הספר היסודי, דרך חטיבת הביניים וזאת כבסיס ללימוד נושאים מתקדמים במתמטיקה הנלמדים בתיכון. חשיבות הנושא באה לידי ביטוי בהקשר לנושאי לימוד נוספים בבית-הספר, כגון: שברים (על המשמעויות השונות, והשוואתם), מעבר בין יחידות מידה, קנה מידה, בעיות יחס, יחס ישר ויחס הפוך, הסתברות, דמיון משולשים, טריגונומטריה וכו'.

‫הוכחות‬

‫גאולה ומרכז המורים‬ — Sun, 26 Aug 2012 10:45:45 +0000

הוכחות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

מהי הוכחה מתמטית?
במצריים העתיקה, כמו גם ביוון, אנשים עסקו בשאלות מעשיות, למשל בחלוקת חלקות אדמה.
לכן הגאומטריה העתיקה עסקה בעיקר במדידות ובאובייקטים כמו משולשים, מרובעים ומעגלים (למשל, לצורך עיצוב של אמפיתאטרונים). אנשים ציירו את האובייקטים, תיארו אותם במילים והסבירו כיצד האובייקטים יתמקדו במרחב. ציורים, ג'סטות, אנלוגיות, אוטוריטות ולפעמים אף אלימות עזרו "לשכנע" אחרים שההצעות עונות על הדרישות. לאנשים לא היה צורך בהוכחה פורמלית מעבר לסתם שכנוע.
הוכחה מתמטית היא אמצעי לשכנע חבורת אנשים שטענה מסוימת נכונה במערכת שבה ישנה הסכמה על כללים לוגיים מסוימים. דרך טבעית להוכיח לחבורת אנשים שטענה כלשהי נכונה היא לייחס אותה לטענות A, B, C… שכבר ידועות כנכונות. מתקבלת שרשרת: A->B->C->…->X.

ללימוד הוכחות לוגיות מתמטיות יש שימוש רב בחיי יום יום.

‫ייצוגים שונים לפתרון שאלות מילוליות‬

‫גאולה ומרכז המורים‬ — Sun, 26 Aug 2012 09:36:10 +0000

ייצוגים שונים לפתרון שאלות מילוליות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

יחידה זו עוסקת בפתרון שאלות מילוליות על ידי שימוש בייצוגים שונים של פונקציה.

העיסוק בבעיות מילוליות הוא פעילות מתמטית חשובה שבאמצעותה ניתנת לתלמידים הזדמנות לבנות מודלים מתמטיים לתיאור תופעות "מהחיים" ולהעמיק את ההבנה של התופעות באמצעות מודלים אלה. בגישה המסורתית מצפים מהתלמיד לבחור אות המייצגת גודל לא ידוע בבעיה ולרשום ביטויים לגדלים לא ידועים אחרים בעזרת אות זו. לאחר מכן נדרש התלמיד לבטא קשר בין הגדלים ולהגיע למשוואה אותה הוא צריך לפתור. תהליך זה של תרגום הסיטואציה לביטוי סימבולי קשה לתלמידים. השינוי בתוכנית הלימודים בחטיבת-הביניים והצגת הפונקציה ככלי לתיאור תופעות של השתנות כבר בכיתה ז' מאפשרת את השימוש בגישה הפונקציונאלית לפתרון בעיות מילוליות. השימוש בפונקציה כמודל מתמטי לתיאור התהליכים בפתרון בעיות מאפשר להתמקד בתהליך עצמו המתואר בבעיה, ולא רק בשאלה הפרטית הנשאלת בבעיה.

יתרונה של הפונקציה כמודל לתיאור תהליכים הוא בשלל ייצוגיה: מספרי (טבלה), גרפי וסימבולי (ביטויים אלגבריים והשוואות). הייצוגים המגוונים מאפשרים לבחור את דרך הפתרון המתאימה לצרכיו של הפותר.

ביחידה זו נציג גישה פונקציונאלית לפתרון בעיות מילוליות, נעמוד על יתרונותיה ונבחן את ההבדלים בינה לבין הגישות השונות לפתרון בעיות.

יחידה זו עוסקת בפתרון שאלות מילוליות על ידי שימוש בייצוגים שונים של פונקציה.

‫על מרובעים והגדרות שקולות‬

‫גאולה ומרכז המורים‬ — Wed, 21 Dec 2011 10:51:46 +0000

על מרובעים והגדרות שקולות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

נושא המרובעים הינו אחד הנושאים המרכזיים בתוכנית הלימודים בגיאומטריה לכיתה ט'. בהתאם לתוכנית הלימודים לכיתה ט' נלמד נושא זה בגישה דדוקטיבית תוך שימת דגש על הגדרות מושגים, משפטים מתמטיים והוכחתם. הגישה הננקטת להוראת נושא זה כפי שהיא באה לידי ביטוי בתוכנית הלימודים החדשה מתחילה בהוראת המקבילית דרך המלבן (מרובע אותו למדו התלמידים בכיתה ז' והוגדר כמרובע בעל ארבע זויות ישרות), המעוין, הריבוע, הדלתון והטרפז כלומר ההוראה מתבצעת בדרך של "הורדה" של חלק מהתנאים המספיקים שנכללים בהגדרת המרובע, והוספת תנאים הכרחיים למושג.

היחידה מתייחסת להיבטים מתמטיים ודידקטיים הקשורים למבנה המשפט המתמטי והגדרת המושג. היחידה מעודדת:

- הכרות עם גישות שונות (מתמטיות ודידקטיות) להוראת משפחת המרובעים.

- הכרות עם ריבוי ההגדרות ושקילות טענות מתמטיות היכולות לשמש כהגדרות לאותו מושג.

- דיון בהיבטים מתה-מתמטיים הממוקדים בבחירת "ההגדרה הטובה".

- דיון על האופן בו משפיעה בחירת ההגדרה על סדר הוראת המושגים.

- הכרות עם נושא הסימטריה (סימטריה שקופית ומרכזית מהוות חלק מהנושאים הנדרשים במבחן הטימס) והשימוש בסימטריה בהגדרת בנושא המרובעים.

‫טרנספורמציות של פונקציות‬

‫גאולה ומרכז המורים‬ — Wed, 21 Dec 2011 10:45:16 +0000

טרנספורמציות של פונקציות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

טרנספורמציות הן כלי מתמטי ליצירת משפחה של פונקציות. הן מעודדות להסתכל על הפונקציה כדוגמה או כפרט במשפחה. "חוש לפונקציות" כולל גם את היכולת לשייך פונקציה למשפחה שלה ולזהות את התכונות המשותפות למשפחה (Confrey, 1994) והטרנספורמציות הן כלי לנוע בין הפונקציות בתוך המשפחה.

תלמיד שפיתח יכולות להבין ולדמיין טרנספורמציות על פונקציות בייצוגן הגרפי והאלגברי ומזהה פונקציה כשייכת למשפחה, יוכל להשתמש בטרנספורמציות ככלי שימושי כמעט בכל נושא הנוגע לפונקציות, כגון הכרות עם משפחות שונות של פונקציות, נגזרות, מניפולציות אלגבריות ועוד.

נעסוק כאן בארבעה סוגים יסודיים של טרנספורמציות לינאריות:
- הזזה אנכית
- הזזה אופקית
- מתיחה אנכית
- מתיחה אופקית
- שיקופים.

‫מצולעים‬

‫גאולה ומרכז המורים‬ — Sun, 18 Dec 2011 14:45:57 +0000

מצולעים

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

עיסוק במצולעים בעלי יותר מ- 4 צלעות, פותח אפשרויות להצגת משולשים ומרובעים כמקרים פרטיים של מצולעים (כלליים) ויכול להוביל להעמקה והרחבה של מושגים ותכונות רבות כמו אלכסונים, זוויות פנימיות וחיצוניות במצולע, מצולע משוכלל, סכום זוויות במצולע וכדומה. עיסוק במושג "המצולע" מאפשר שילוב של פעולות חקר בשיעורי מתמטיקה, פותח אפשרויות לשאלת שאלות, להעלאת השערות, מוביל להכללות והוכחות.

רב המשימות ביחידה יכולות לשמש דוגמה להוראה קדם דדוקטיבית בגיאומטריה.

מטרות היחידה: העמקה במושגי יסוד הקשורים במצולעים בדרך חווייתית, הצגת דוגמה ללמידת מושג מתוך דוגמאות מתאימות, הצגת דוגמה ללימוד בדרכי חקר.

יחידה זאת מעשירה מורים בנושא הנחשב מוכר. הפעילויות בנויות בצורת בעיות חקר דבר המעודד הוראה הדרגתית ומאפשר הוראה לא-פרונטאלית. היחידה ניתנת ברובה ליישום בכתות, היא מתאימה לכל קבוצת גיל ואפשר לשלב חלקים ממנה ברמות שונות.

‫פונקציה ריבועית‬

‫גאולה ומרכז המורים‬ — Sun, 18 Dec 2011 14:01:28 +0000

פונקציה ריבועית

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה מציגה את הפונקציה הריבועית בייצוגים סימבוליים שונים ובייצוג הגרפי (פרבולה).
היחידה מדגישה את היתרונות של כל הצגה סימבולית, תוך שימוש ביישומים דינאמים לפעילות חקר על הקשר והאיכויות של כל הצגה.
בשנות השמונים רווחה התיאוריה הקונסטרוקטיביסטית להוראת המתמטיקה עיקר תיאוריה זו היא שהלמידה היא תהליך פנימי, בו הלומד בונה ידע חדש על בסיס הבנייה אישית של הלומד מתוך ידע קיים. לכן, חשוב שלימוד המתמטיקה יביא ליצירת קשר בין הידע הנרכש לבין הידע הקיים.
סדנה אחת עוסקת בבניית פונקציה ריבועית כמכפלה של שתי פונקציות לינאריות. הפונקציות הלינאריות מוכרות לתלמידים, וממכפלתם, ניתן ללמוד על רב התכונות של הפונקציה הריבועית.
ויתר הסדנאות עוסקות בדגשים של הייצוגים הסימבוליים השונים ובמשפחות של פונקציות.