קיבוץ לביא – 17.7.2011 – 19.7.2011

היקף – 30 שעות

המצגות כולן לשימוש המדריכים. אנא הקפידו על שמירת זכויות היוצרים וציינו את מקורן.

הסתברות – החוקיות של האי-ודאות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF, מצגת PPT

יחידה זו מציגה ארבע בעיות בהסתברות שעשויות לפתח חשיבה הסתברותית וחשיבה ביקורתית.

כיום, בעולם המודרני, השימוש במונחי הסתברות הולך וגובר, אם בהתנסחויות התקשורתיות בתחומי החיים השונים ואם בשפת היומיום. לכן חשוב לבסס אצל התלמידים עולם מושגים הסתברותיים, לפתח יכולת ניתוח בעיות הסתברותיות וכושר ביקורת להצהרות הסתברותיות.

לכל אחד מאיתנו יש אינטואיציה לגבי סיטואציות יומיומיות בלתי ודאיות בחיינו, אך לא תמיד הן מתיישבות עם תורת ההסתברות. קיום הסתירה לכאורה בין מדע ההסתברות לבין החשיבה ההגיונית שלנו, משאיר אותנו לעתים עם גורם ההפתעה בקשר לתשובה החישובית. בפעילות ביחידה זו נראה שחישובי ההסתברויות לא תמיד עולים בקנה אחד עם שיקול הדעת האינטואיטיבי שלנו לגבי סיטואציות הסתברותיות. יחד עם זאת נראה שניתן לפתח חשיבה איכותנית ולוגית לפתרון הבעיות, ללא חישובים, יחד עם ייצוגים מגוונים המסייעים להבנת הבעיות.

שטחים ועוד…

קבצים מצורפים: מצגת PPT

בתוכנית הלימודים נכתב כי "על הגיאומטריה להִלמד כחלק מהתרבות האנושית". ברוח זו אנו נתייחס אל ההתפתחות ההסטורית של הגיאומטריה ולמבנה האקסיומטי דדוקטיבי שלה.

מושג השטח הוא מושג בסיסי בלימודי הגיאומטריה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים ומקושר לנושאים רבים במתמטיקה כגון הוכחות (למשל, במשפט פתגורס), הנדסה אנליטית, אינטגרלים, הצגה גיאומטרית של בעיות באלגברה (למשל, נוסחאות לכפל מקוצר) ועוד. מושג השטח מזמן פעילויות רבות בהיבטים חשובים בגיאומטריה כמו מערכת אקסיומטית, יחס שקילות, הוכחה ויזואלית, הוכחה דדוקטיבית, סימטריה, חפיפה וכו'. בהתאם לזאת, נגזר שמו של אוסף היחידות "שטחים ועוד…" והמבנה שלו כולל מבוא וארבע יחידות:

שטחים ועוד – מבוא

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

כל יחידה עומדת בפני עצמה כיחידת הדרכה/לימוד נפרדת. לכל אחת מהיחידות נכתב חומר רקע המתאים לתכני היחידה הכולל: רקע היסטורי, רציונאל, הקשר של הנושא לתוכנית הלימודים, סדנאות, פתרונות והצעות דידקטיות למדריך. יחד עם זאת, נפתח בסקירה כללית של מספר נושאים משותפים.

יחידה 1 – מצולעים חופפי גזירה

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת במושג השטח ומדידת שטחם של מצולעים וכוללת רקע היסטורי על התפתחות מושג השטח ושיטות המדידה בתקופתו של אוקלידס. ביחידה זו נכיר את המושג מצולעים חופפי גזירה ונחקור מצולעים בעלי שטח שווה ללא שימוש בנוסחאות שטח. נדגים הוכחות של משפטים באמצעות אביזרים מוחשיים כגון: גזירה וסידור מחדש של מצולעים ובאמצעות יישומים דינאמים כבסיס להוכחות הפורמליות דדוקטיביות. הפעילויות בעצמים המוחשיים ובייצוגים הממוחשבים והרפלקציה על פעילויות כאלה מביאות להפנמה של מושגים גאומטריים ומפתחת כשרים גאומטריים, כמו למשל, היכולת לדמיין שינויים שעשויים לקרות בצורה, בעקבות ביצוע טרנספורמציה עליה. פעילויות אלה מפתחות חשיבה לוגית והבנת מבנה גאומטרי (על פי תוכנית הלימודים של בית הספר היסודי).

יחידה 2 – השטח על פי אוקלידס

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת במושג השטח ובמדידת שטחם של מצולעים על פי תורתם של היוונים כפי שניסח אוקלידס בספרו "יסודות". ביחידה זו נכיר את מערכת האקסיומות שעמדה בבסיס הגיאומטריה האוקלידית, נכיר שיטות למציאת שטח של מצולעים ונתנסה בהוכחת משפטים גיאומטריים ובבניות מתוך ספר "היסודות", ללא שימוש בנוסחאות השטח. ביחידה זו נעמיק את ההכרות עם הגישה האקסיומטית במתמטיקה ובגיאומטריה ובבניית הוכחות דדוקטיביות בתוך המסגרת של המערכת האקסיומטית. הפעילויות הסדנהיות, הכוללות גם יישומים דינאמיים, נועדו לעודד פיתוח חשיבה דדוקטיבית ויצירת הוכחות פורמליות. מלבד זאת מזמנות הסדנהות את לימוד ההיסטוריה של התקופה, תוך התנסות בבעיות (הגיאומטריות) ולהכרת הפתרונות שהוצעו עבורן. מסיבה זו כוללת היחידה את הרקע ההיסטורי על ראשית הגיאומטריה האוקלידית.

יחידה 3 – השטח במבט מודרני

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת במושג השטח ובמדידת השטח של מצולעים. מושג השטח, כפי שאנו משתמשים בו כיום, הוגדר במאה ה-19 כמערכת אקסיומטית אשר ביסוד תורת המדידה. על בסיס אקסיומות השטח הללו נמצא ונוכיח את נוסחאות השטח של מלבן, מקבילית, משולש, וטרפז. ביחידה זו נעמיק את ההכרות עם הגישה האקסיומטית במתמטיקה בכלל ובגיאומטריה בפרט, ועם בניית הוכחות דדוקטיביות של משפטים הנובעים מתוך מערכת האקסיומות.

הפעילויות הסדנאיות, הכוללות גם שימוש ביישומים דינאמיים, קיפולי נייר, הוכחות ויזואליות ועוד נועדו לעודד פיתוח של חשיבה דדוקטיבית ויצירת הוכחות פורמליות לנוסחאות השטח המוכרות.

יחידה 4 – על שטחים ומשפטים – חדש!

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת בהוכחה של משפטים ידועים בעזרת שטחים. ביחידה דוגמאות של משפטים ידועים ובעיות גיאומטריות הקשורות לחלוקת שטחים. השימוש בשטח בדוגמאות המוצגות מפשט את ההוכחה ועל ידי כך נותן לתלמיד כלים להתמודדות מוקדמת יותר עם חלק מהמשפטים. בנוסף, הוא מהווה דוגמא לפתרון אלגנטי (המציג יופי מתמטי) ועשוי לתרום להרחבת דרכי הפתרון לבעיה נתונה (פיתוח יצירתיות).
הנושאים המרכזיים: שימוש בשטח ככלי להוכחה, בעיות חקר, בעיות עם דרכי פתרון רבות.

אי-שוויונות בשאלות מילוליות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF, מצגת PPT

השוואה בין גורמים שונים היא חלק מחיי היומיום שלנו. במתמטיקה השוואות מתורגמות למשוואות ולאי-שוויונות המקבלים ייצוגים שונים: מילולי, גרפי, מספרי, ואלגברי.

בפתרון שאלה מילולית המתארת השוואה, נדרשת אוריינות מתמטית. הפותר צריך להבין את הנקרא, ולדעת לתרגם את התיאור המילולי לייצוג מתמטי אחר (גרפי, מספרי או אלגברי) אשר יוביל לתשובה.

התמודדות עם שאלות מילוליות המתארות אי-שוויון, דורשת הבנה של דקויות מילוליות. אוצר המונחים הלשוניים המתארים מצבי אי-שוויון רבים ומגוונים. ההבדלים הדקים בין מושגי האי-שוויון דורשים הבנה מעמיקה של הטקסט. למשל, המשפט "לדני יש 8 גולות לכל היותר" מתורגם ל- והמשפט "לדני יש יותר מ-8 גולות" מתורגם ל- . ה"כיוון" של סימן האי-שוויון שונה וגם האי-שוויון הראשון הוא אי-שוויון חלש (מאפשר גם את השוויון עצמו) בעוד השני הוא אי-שוויון חזק (אינו מאפשר את השוויון עצמו).

ביחידה זו נתמקד במשמעות הלוגית של אי-שוויון ובפתרון שאלות מילוליות המתארות אי-שוויון:

- נעסוק בדקויות ההבחנה בין המונחים המתארים אי-שוויונות.

- נבדיל בין מונחים המאפשרים שימוש באי-שוויון חלש או חזק.

- בפתרון השאלות נשתמש, במידת האפשר, בדרכים שונות ובייצוגים מגוונים.

כפל של מספרים שליליים

או מדוע "מינוס כפול מינוס שווה פלוס"?

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

פעולת הכפל במספרים השליליים היא פעולה המוגדרת באופן מתמטי פורמלי ולאו דוקא אינטואיטבי. זו אחת הפעולות הראשונות שפוגש התלמיד בבית הספר שמקורן אינו בהתנסויות מוחשיות ואינטואיטיביות. השרירותיות של החוקים המתמטיים מהווה לעיתים אבן נגף ברצף הלמידה של הרחבת המספרים וראשית האלגברה.

ביחידה זו נבחן הסברים שונים המקובלים בהוראה, בכדי להצדיק את חוקי הכפל במספרים השליליים ובפרט מדוע כפל של שני מספרים שליליים הוא חיובי. הצגת המספרים השליליים ופעולות החיבור והחיסור בהם נלמדות בדרך כלל בתווך של מודלים דידקטיים כגון חיצים על ציר המספרים, מודל האסימונים וכדומה (ראו סקירה נרחבת ביחידה "להיות מודל למספר שלילי"). ביחידה זו נשאל האם וכיצד נמשיך להשתמש במודלים להוראת פעולת הכפל במספרים שליליים וכן אילו אסטרטגיות מתאימות להצגת פעולת הכפל במספרים השליליים.

יחידה זו עוקבת ליחידה "להיות מודל למספר שלילי", אך יכולה לעמוד גם בפני עצמה.

להיות מודל למספר שלילי

מודלים שונים להצגת המספרים השליליים ופעולות החיבור והחיסור בהם

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת בחשיפה למודלים שונים המשמשים להוראת המספרים השלמים, השוואה בין המודלים השכיחים ובחינת המשמעות של המספר השלילי ופעולות החיבור והחיסור בכל אחד מהמודלים.

הנושאים המרכזיים

- הרחבת עולם המספרים.

- מספר שלילי – מהו?

- מושגים מרכזיים בהגדרת המספר השלילי – האפס, היחידה, נגדיות, סדר וצפיפות.

- ייצוגים שונים של המספרים השליליים במגוון מודלים דידקטיים.

- מה בין מושג ומודל?

- ארבע פעולות החשבון והמשמעות שלהן במודלים השונים.

- מקומם של המודלים בהוראה: נקודות חוזק ותורפה.

ערכה למדריך

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF 

תוכן היחידה בקבצים נפרדים:

מהלך ההדרכה בבית הספר:

- איסוף מידע ראשוני על-ידי המדריך בבית הספר

- פגישות ראשונות בבית הספר

- פגישות במשך השנה

- הפגישות בסוף השנה

- דף קשר לבית ספר

- ריכוז נתונים – בית ספר

מידע שנתי:

- כיתה ז'

    - שלד תכנית הלימודים לתשע"ב (לפי 4 ש”ש)

    - שלד תכנית הלימודים לתשע"ב (לפי 5 ש”ש)

    - לוח תכנון לתשע"ב – מלא

    - לוח תכנון לתשע"ב – למילוי עצמי

    - פריסת חומר הלימודים לתשע"ב

- כיתה ח'

    - שלד תכנית הלימודים לתשע"ב (לפי 5 ש”ש)

    - לוח תכנון לתשע"ב – מלא

    - לוח תכנון לתשע"ב – למילוי עצמי

    - פריסת חומר הלימודים לתשע"ב

- כיתה ט'

    - שלד תכנית הלימודים לתשע"ב (לפי 5 ש”ש)

    - שלד תכנית הלימודים לתשע"ב (לפי 4 ש”ש)

    - לוח תכנון לתשע"ב – מלא

    - לוח תכנון לתשע"ב – למילוי עצמי

    - פריסת חומר הלימודים לתשע"ב

- ‏ספרי הלימוד במתמטיקה לחטיבת הביניים לפי תכנית הלימודים החדשה (תשע"ב)

    - כיתה ז'

    - כיתה ח'

    - כיתה ט'

- לוח מבחנים ארציים ובינלאומיים לחטיבת הביניים לשנת הלימודים תשע"ב

- קישורים שימושיים

- מתנ"ה (עמודים 21, 22)

הנה כבר חלפה לה חצי שנת לימודים ואנו הופכים תקליט…

ניצה שיאון הציגה בהשתלמויות כמה משימות ברוח התכנית החדשה לאמצע השנה בכיתה ז' .
משימות אלו יכולות להוות כלי להערכה של הלמידה עד שלב זה, בסיס לתכנון המשך הלמידה ועוד.

לאחר אחת מההשתלמויות, שלחה לנו רחל לוי את מחשבותיה על אחת מהמשימות ואת הדברים הבאים:

ראשית, תודה לניצה שיאון ולשותפיה העמלים על הכנת חומרים מעולים ומועילים.
בנוגע למשימת אמצע ז' – פגישה שלמה בת שעה וחצי, רצופת הנאה, עסקה רק במשימה הראשונה.
הדיון היה מאוד פורה ומפרה. (הגענו לנושאים ומסקנות שלא תמיד המורה מגיע אליהם במהלך הכנת השיעור.צפינו שאלות של תלמידים והעלינו רעיונות לדרכי הוראה,ועוד ועוד.
לשמחתי, אני מרגישה כך בכל פגישות ההדרכה, כמאמר הביטוי: "אין סכין מתחדדת אלא בירך של חברתה".

אנו מודים לרחל על רוח השיתופיות. כולנו הרווחנו.

במצגת מיון תלמידי המיצוי מתואר תהליך המיון על כל שלביו.

מצגת ההרצאה "מתמטיקה בכיתות ז –ח בארץ ובעולם" של ד"ר חנה פרל.

בשנים האחרונות יש למבחנים הבינלאומיים השפעה משמעותית על תוכניות הלימודים במתמטיקה בכל המדינות המשתתפות. המצגת סוקרת את מבחני הTIMSS וPISA והשפעתן על תוכניות הלימודים בארץ ובעולם.