אוג' 03 2011
שטחים ועוד…
שטחים ועוד…
קבצים מצורפים: מצגת PPT
בתוכנית הלימודים נכתב כי "על הגיאומטריה להִלמד כחלק מהתרבות האנושית". ברוח זו אנו נתייחס אל ההתפתחות ההסטורית של הגיאומטריה ולמבנה האקסיומטי דדוקטיבי שלה.
מושג השטח הוא מושג בסיסי בלימודי הגיאומטריה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים ומקושר לנושאים רבים במתמטיקה כגון הוכחות (למשל, במשפט פתגורס), הנדסה אנליטית, אינטגרלים, הצגה גיאומטרית של בעיות באלגברה (למשל, נוסחאות לכפל מקוצר) ועוד. מושג השטח מזמן פעילויות רבות בהיבטים חשובים בגיאומטריה כמו מערכת אקסיומטית, יחס שקילות, הוכחה ויזואלית, הוכחה דדוקטיבית, סימטריה, חפיפה וכו'. בהתאם לזאת, נגזר שמו של אוסף היחידות "שטחים ועוד…" והמבנה שלו כולל מבוא וארבע יחידות:
שטחים ועוד – מבוא
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
כל יחידה עומדת בפני עצמה כיחידת הדרכה/לימוד נפרדת. לכל אחת מהיחידות נכתב חומר רקע המתאים לתכני היחידה הכולל: רקע היסטורי, רציונאל, הקשר של הנושא לתוכנית הלימודים, סדנאות, פתרונות והצעות דידקטיות למדריך. יחד עם זאת, נפתח בסקירה כללית של מספר נושאים משותפים.
יחידה 1 – מצולעים חופפי גזירה
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
היחידה עוסקת במושג השטח ומדידת שטחם של מצולעים וכוללת רקע היסטורי על התפתחות מושג השטח ושיטות המדידה בתקופתו של אוקלידס. ביחידה זו נכיר את המושג מצולעים חופפי גזירה ונחקור מצולעים בעלי שטח שווה ללא שימוש בנוסחאות שטח. נדגים הוכחות של משפטים באמצעות אביזרים מוחשיים כגון: גזירה וסידור מחדש של מצולעים ובאמצעות יישומים דינאמים כבסיס להוכחות הפורמליות דדוקטיביות. הפעילויות בעצמים המוחשיים ובייצוגים הממוחשבים והרפלקציה על פעילויות כאלה מביאות להפנמה של מושגים גאומטריים ומפתחת כשרים גאומטריים, כמו למשל, היכולת לדמיין שינויים שעשויים לקרות בצורה, בעקבות ביצוע טרנספורמציה עליה. פעילויות אלה מפתחות חשיבה לוגית והבנת מבנה גאומטרי (על פי תוכנית הלימודים של בית הספר היסודי).
יחידה 2 – השטח על פי אוקלידס
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
היחידה עוסקת במושג השטח ובמדידת שטחם של מצולעים על פי תורתם של היוונים כפי שניסח אוקלידס בספרו "יסודות". ביחידה זו נכיר את מערכת האקסיומות שעמדה בבסיס הגיאומטריה האוקלידית, נכיר שיטות למציאת שטח של מצולעים ונתנסה בהוכחת משפטים גיאומטריים ובבניות מתוך ספר "היסודות", ללא שימוש בנוסחאות השטח. ביחידה זו נעמיק את ההכרות עם הגישה האקסיומטית במתמטיקה ובגיאומטריה ובבניית הוכחות דדוקטיביות בתוך המסגרת של המערכת האקסיומטית. הפעילויות הסדנהיות, הכוללות גם יישומים דינאמיים, נועדו לעודד פיתוח חשיבה דדוקטיבית ויצירת הוכחות פורמליות. מלבד זאת מזמנות הסדנהות את לימוד ההיסטוריה של התקופה, תוך התנסות בבעיות (הגיאומטריות) ולהכרת הפתרונות שהוצעו עבורן. מסיבה זו כוללת היחידה את הרקע ההיסטורי על ראשית הגיאומטריה האוקלידית.
יחידה 3 – השטח במבט מודרני
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
היחידה עוסקת במושג השטח ובמדידת השטח של מצולעים. מושג השטח, כפי שאנו משתמשים בו כיום, הוגדר במאה ה-19 כמערכת אקסיומטית אשר ביסוד תורת המדידה. על בסיס אקסיומות השטח הללו נמצא ונוכיח את נוסחאות השטח של מלבן, מקבילית, משולש, וטרפז. ביחידה זו נעמיק את ההכרות עם הגישה האקסיומטית במתמטיקה בכלל ובגיאומטריה בפרט, ועם בניית הוכחות דדוקטיביות של משפטים הנובעים מתוך מערכת האקסיומות.
הפעילויות הסדנאיות, הכוללות גם שימוש ביישומים דינאמיים, קיפולי נייר, הוכחות ויזואליות ועוד נועדו לעודד פיתוח של חשיבה דדוקטיבית ויצירת הוכחות פורמליות לנוסחאות השטח המוכרות.
יחידה 4 – על שטחים ומשפטים – חדש! 
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
היחידה עוסקת בהוכחה של משפטים ידועים בעזרת שטחים. ביחידה דוגמאות של משפטים ידועים ובעיות גיאומטריות הקשורות לחלוקת שטחים. השימוש בשטח בדוגמאות המוצגות מפשט את ההוכחה ועל ידי כך נותן לתלמיד כלים להתמודדות מוקדמת יותר עם חלק מהמשפטים. בנוסף, הוא מהווה דוגמא לפתרון אלגנטי (המציג יופי מתמטי) ועשוי לתרום להרחבת דרכי הפתרון לבעיה נתונה (פיתוח יצירתיות).
הנושאים המרכזיים: שימוש בשטח ככלי להוכחה, בעיות חקר, בעיות עם דרכי פתרון רבות.