דצמ' 18 2011
קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF
"מושג הפונקציה מאפשר ארגון ומיזוג של רעיונות מתמטיים חשובים ובעלי משמעות עבור התלמידים" (מתוך תוכנית הלימודים של חטיבת הביניים).
יחידה זו מציגה מבוא כללי למושג הפונקציה שהוא מושג בסיסי בלימודי המתמטיקה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה. יחידה זו כוללת רקע מתמטי, היסטורי ודידקטי גם עבור היחידות:
- פונקציה ריבועית
- טרנספורמציות ליניאריות
דצמ' 18 2011
קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF
מטרת היחידה – בניית ייצוגים גיאומטריים להוכחות של זהויות אלגבריות ופיתוח יכולת הבניית מושגים בצורה עצמאית.
כיום, בעידן המחשבים, הולכת וגוברת ההכרה בכך שלייצוגים ויזואליים יש פוטנציאל העשוי לתרום לתהליך הלמידה, להעשיר אותו, ולהביא להבנה מעמיקה של מושגים מתמטיים.
דצמ' 18 2011
קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF
יחידה זו עוסקת במיומנויות נדרשות בטכניקה אלגברית בשילוב של דרכי חשיבה שונות.
ביחידה זו נעסוק במיומנויות הבאות:
1. כינוס איברים דומים
2. פתיחת סוגריים (חוק הפילוג וחוק הפילוג המורחב)
3. נוסחאות לכפל מקוצר
4. פירוק לגורמים בשיטות שונות: הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים, קיבוץ איברי הפולינום, פירוק של טרינום ריבועי
5. הרחבה וצמצום של שברים אלגבריים
6. מציאת מכנה משותף של שברים אלגבריים הנדרש לביצוע חיבור וחיסור שלהם
7. כפל וחילוק של שברים אלגבריים
8. שימוש בחוקי חזקות וחוקי השורש הריבועי
נוב' 16 2011
בגרסה הראשונה של האוגדן, אשר הודפסה וחולקה לכם הופיעו מספר טעויות ואי-דיוקים.
אנו מפרסמים רשימת תיקונים. מומלץ לתקן ידנית בגרסתכם, או להדפיס מחדש את עמודים הרלוונטיים.
שימו לב: מספרי העמודים בטבלה מתאימים למספרי העמודים של גרסת האוגדן שבידיכם. בגרסה הנמצאת באתר (אשר כבר כוללת את כל התיקונים), מספרי העמודים יכולים להיות שונים מעט.
|
שם היחידה |
עמוד |
תיקון |
|
כפל של מספרים שליליים |
בעמודה השמאלית בטבלה צריך להופיע "2+" במקום "2-". פורסם בתאריך 27.11.11 |
|
|
שטחים – יחידה 3 - השטח במבט מודרני |
"יחידה 3", ולא "יחידה 2". אפשר גם להחליף את הסדר הפיזי בין יחידה 2 ויחידה 3 בתוך האוגדן, אם הסדר לא נכון. פורסם בתאריך 27.11.11 |
|
|
בנוסחת חיבור השטחים, צריך להופיע סימן איחוד (∪) במקום סימן חיתוך (∩) בפעם השנייה. הנוסחה הנכונה: <= (Area(P1∪P2) = Area(P1) + Area(P2 פורסם בתאריך 27.11.11 |
||
|
הסתברות – החוקיות של האי ודאות |
שאלה 2, סעיף ב' – הפתרון צריך להיות: פתרון: את הוצאת כל עשרים וחמישה התפוחים מהארגז ניתן לראות כסידור של כל התפוחים בשורה אחת (המספר הכולל של שורות אלה שווה ל- 25!). ההסתברות לקבלת כל אחת משורות אלו שווה. מספר השורות שבהם התפוח הירוק מופיע במקום הראשון שווה למספר השורות שבהם התפוח הירוק מופיע במקום השלישי. הערה: הסבר זה מהווה דרך אלטרנטיבית לדרך הפתרון המוצגת בדרך כלל לתלמידים בעזרת דיאגרמת עץ. במקרה והשאלה מתייחסת למשל, לתפוח השלישי, הסבר זה לא בהכרח קל ונח יותר מאשר הדרך הקונוונציונלית. יתרון הסבר זה בכך בהצגת חשיבה הנכונה גם כאשר מדובר למשל, על התפוח ה-23. פורסם בתאריך 27.11.11 |
|
|
שאלה 4 – סעיף ג, פתרון בדרך ב – דיאוגרמת עץ – לפני המשפט האחרון בפתרון יש להוסיף: כיוון ש- פורסם בתאריך 27.11.11 |
||
|
שאלה 4 – סעיף ג, פתרון בדרך ג – דיאוגרמת עץ: מומלץ להחליף את שמות ההרכבים א ו-ב ל-A ו-B בהתאמה, לתיאום עם הפתרונות בהמשך. פורסם בתאריך 27.11.11 |
||
|
שאלה 4 – סעיף ד: - התשובה המלאה היא: תשובה: לא משנה על איזה הרכב נמליץ. ההסתברות ששלושה שופטים יקבלו החלטה נכונה או ארבעה שופטים יקבלו את ההחלטה הנכונה שווה. פורסם בתאריך 27.11.11 |
||
|
בתרשים במקרה האמצעי צריך להיות כתוב "שלושה שופטים החליטו החלטה נכונה ואחד שגה" פורסם בתאריך 27.11.11 |
||
|
שאלה 4 – סעיף ד – הוספנו עוד דרך לפתרון:
פתרון בדרך ב': דרך איכותית נתבונן במצב הבא: בהרכב B מבין ארבעת השופטים, שופט IV מביע את דעתו, אך "מתעלמים" ממנו. הרכב זה יקבל החלטות בהסתברות שווה להסתברות שהרכב של שלושה שופטים יקבל החלטה נכונה. נשווה את הרכבB להרכב A בו מתחשבים בדעות של כל אחד מארבעת השופטים. (כלומר, לא מתעלמים מאף אחד). אם 3 שופטים מתוך 4 קיבלו החלטה נכונה, אז בשני ההרכבים ההחלטה הנכונה תהיה זהה (בהרכב B, אפילו אם בין שלושת האלה יהיה שופט IV, בכל זאת הרוב בעד ההחלטה הנכונה). אם בדיוק 2 קיבלו החלטה נכונה ("תיקו"), אז בשני ההרכבים ההחלטה הנכונה תתקבל במחצית מהמקרים: בהרכב A מטילים מטבע ובהרכב B בחצי מהמקרים שופט IV נמצא בזוג שמקבל החלטה נכונה (ראה שאלה מספר 3). לכן ההסתברות שהרכב A יקבל החלטה נכונה שווה לזו שהרכב B יקבל את ההחלטה הנכונה. הערות: 1. שימו לב, שעל מנת להשוות בין הסתברויות לא חייבים לחשב אותם. 2. בדומה לפתרון בדרך B ניתן לראות כי אין הבדל בין הסתברויות של הרכב שבו 2n–1 שופטים להרכב שבו 2n שופטים. פורסם בתאריך 27.11.11 |
אם גיליתם טעויות נוספות – אנא יידעו אותנו.
ספט' 15 2011
לפניכם מצגת "הוראת 3 יח"ל כאתגר דידקטי" בעריכת ד”ר דוד פיילכנפלד וגאולה סבר,
וקובץ למדריך – העברת השתלמות בשינוי נושא נוסחה למורי 3 יח"ל.
אוג' 07 2011
היקף – 30 שעות
המצגות כולן לשימוש המדריכים. אנא הקפידו על שמירת זכויות היוצרים וציינו את מקורן.
יום ראשון |
יום שני |
יום שלישי |
| התכנסות ורישום | סדנת פריטים ט' אלגברה – דף עבודה |
גאומטרייה ב' – סיגלית אטשי |
| - פתיחה – ד"ר חנה פרל- מבט אורייני על הוראת המתמטיקה – צוות הפיקוח על הוראת העברית | גאוגברה – גאולה סבר וורדה טלמון ממרכז המורים מצגת |
קשיי תלמידים בכניסה לחטיבה העליונה ואסטרטגיות ההוראה – ד"ר רוני קרסנטי מצגת |
| מבט אורייני על הוראת המתמטיקה – צוות הפיקוח על הוראת העברית מצגת |
אוגדנים למדריך – מרכז המורים האוגדן – מצגת |
|
| ידע מקצועי של מורים – פרופ' רוזה לייקין | טעימות מידע: ציפיות, יעדים, מבחנים בינלאומיים וקצת על אינטואיציות ולמידה בלתי פורמלית – אירמה ג'ן מצגת |
הסתברות – אנטולי קורופאטוב מצגת |
| מתמטיקה והקשר למדעים – ד"ר חנה פרל | גאומטרייה א' – ורד הירש מצגת |
סיכום מצגת סיכום |
| מבט כללי כיתה ט' – ניצה שיאון מצגת |
גאומטרייה אנליטית – מאגר – מלכה ברנדר גאומטרייה אנליטית – מצגת, קובץ המכיל את כל הרצפים |
|
| הרצגה – ד"ר קובי אסף | פגישות – מדריכים מחוזיים |
אוג' 03 2011
הסתברות – החוקיות של האי-ודאות
קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF, מצגת PPT
יחידה זו מציגה ארבע בעיות בהסתברות שעשויות לפתח חשיבה הסתברותית וחשיבה ביקורתית.
כיום, בעולם המודרני, השימוש במונחי הסתברות הולך וגובר, אם בהתנסחויות התקשורתיות בתחומי החיים השונים ואם בשפת היומיום. לכן חשוב לבסס אצל התלמידים עולם מושגים הסתברותיים, לפתח יכולת ניתוח בעיות הסתברותיות וכושר ביקורת להצהרות הסתברותיות.
לכל אחד מאיתנו יש אינטואיציה לגבי סיטואציות יומיומיות בלתי ודאיות בחיינו, אך לא תמיד הן מתיישבות עם תורת ההסתברות. קיום הסתירה לכאורה בין מדע ההסתברות לבין החשיבה ההגיונית שלנו, משאיר אותנו לעתים עם גורם ההפתעה בקשר לתשובה החישובית. בפעילות ביחידה זו נראה שחישובי ההסתברויות לא תמיד עולים בקנה אחד עם שיקול הדעת האינטואיטיבי שלנו לגבי סיטואציות הסתברותיות. יחד עם זאת נראה שניתן לפתח חשיבה איכותנית ולוגית לפתרון הבעיות, ללא חישובים, יחד עם ייצוגים מגוונים המסייעים להבנת הבעיות.
אוג' 03 2011
קבצים מצורפים: מצגת PPT
בתוכנית הלימודים נכתב כי "על הגיאומטריה להִלמד כחלק מהתרבות האנושית". ברוח זו אנו נתייחס אל ההתפתחות ההסטורית של הגיאומטריה ולמבנה האקסיומטי דדוקטיבי שלה.
מושג השטח הוא מושג בסיסי בלימודי הגיאומטריה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים ומקושר לנושאים רבים במתמטיקה כגון הוכחות (למשל, במשפט פתגורס), הנדסה אנליטית, אינטגרלים, הצגה גיאומטרית של בעיות באלגברה (למשל, נוסחאות לכפל מקוצר) ועוד. מושג השטח מזמן פעילויות רבות בהיבטים חשובים בגיאומטריה כמו מערכת אקסיומטית, יחס שקילות, הוכחה ויזואלית, הוכחה דדוקטיבית, סימטריה, חפיפה וכו'. בהתאם לזאת, נגזר שמו של אוסף היחידות "שטחים ועוד…" והמבנה שלו כולל מבוא וארבע יחידות:
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
כל יחידה עומדת בפני עצמה כיחידת הדרכה/לימוד נפרדת. לכל אחת מהיחידות נכתב חומר רקע המתאים לתכני היחידה הכולל: רקע היסטורי, רציונאל, הקשר של הנושא לתוכנית הלימודים, סדנאות, פתרונות והצעות דידקטיות למדריך. יחד עם זאת, נפתח בסקירה כללית של מספר נושאים משותפים.
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
היחידה עוסקת במושג השטח ומדידת שטחם של מצולעים וכוללת רקע היסטורי על התפתחות מושג השטח ושיטות המדידה בתקופתו של אוקלידס. ביחידה זו נכיר את המושג מצולעים חופפי גזירה ונחקור מצולעים בעלי שטח שווה ללא שימוש בנוסחאות שטח. נדגים הוכחות של משפטים באמצעות אביזרים מוחשיים כגון: גזירה וסידור מחדש של מצולעים ובאמצעות יישומים דינאמים כבסיס להוכחות הפורמליות דדוקטיביות. הפעילויות בעצמים המוחשיים ובייצוגים הממוחשבים והרפלקציה על פעילויות כאלה מביאות להפנמה של מושגים גאומטריים ומפתחת כשרים גאומטריים, כמו למשל, היכולת לדמיין שינויים שעשויים לקרות בצורה, בעקבות ביצוע טרנספורמציה עליה. פעילויות אלה מפתחות חשיבה לוגית והבנת מבנה גאומטרי (על פי תוכנית הלימודים של בית הספר היסודי).
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
היחידה עוסקת במושג השטח ובמדידת שטחם של מצולעים על פי תורתם של היוונים כפי שניסח אוקלידס בספרו "יסודות". ביחידה זו נכיר את מערכת האקסיומות שעמדה בבסיס הגיאומטריה האוקלידית, נכיר שיטות למציאת שטח של מצולעים ונתנסה בהוכחת משפטים גיאומטריים ובבניות מתוך ספר "היסודות", ללא שימוש בנוסחאות השטח. ביחידה זו נעמיק את ההכרות עם הגישה האקסיומטית במתמטיקה ובגיאומטריה ובבניית הוכחות דדוקטיביות בתוך המסגרת של המערכת האקסיומטית. הפעילויות הסדנהיות, הכוללות גם יישומים דינאמיים, נועדו לעודד פיתוח חשיבה דדוקטיבית ויצירת הוכחות פורמליות. מלבד זאת מזמנות הסדנהות את לימוד ההיסטוריה של התקופה, תוך התנסות בבעיות (הגיאומטריות) ולהכרת הפתרונות שהוצעו עבורן. מסיבה זו כוללת היחידה את הרקע ההיסטורי על ראשית הגיאומטריה האוקלידית.
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
היחידה עוסקת במושג השטח ובמדידת השטח של מצולעים. מושג השטח, כפי שאנו משתמשים בו כיום, הוגדר במאה ה-19 כמערכת אקסיומטית אשר ביסוד תורת המדידה. על בסיס אקסיומות השטח הללו נמצא ונוכיח את נוסחאות השטח של מלבן, מקבילית, משולש, וטרפז. ביחידה זו נעמיק את ההכרות עם הגישה האקסיומטית במתמטיקה בכלל ובגיאומטריה בפרט, ועם בניית הוכחות דדוקטיביות של משפטים הנובעים מתוך מערכת האקסיומות.
הפעילויות הסדנאיות, הכוללות גם שימוש ביישומים דינאמיים, קיפולי נייר, הוכחות ויזואליות ועוד נועדו לעודד פיתוח של חשיבה דדוקטיבית ויצירת הוכחות פורמליות לנוסחאות השטח המוכרות.
קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF
היחידה עוסקת בהוכחה של משפטים ידועים בעזרת שטחים. ביחידה דוגמאות של משפטים ידועים ובעיות גיאומטריות הקשורות לחלוקת שטחים. השימוש בשטח בדוגמאות המוצגות מפשט את ההוכחה ועל ידי כך נותן לתלמיד כלים להתמודדות מוקדמת יותר עם חלק מהמשפטים. בנוסף, הוא מהווה דוגמא לפתרון אלגנטי (המציג יופי מתמטי) ועשוי לתרום להרחבת דרכי הפתרון לבעיה נתונה (פיתוח יצירתיות).
הנושאים המרכזיים: שימוש בשטח ככלי להוכחה, בעיות חקר, בעיות עם דרכי פתרון רבות.
אוג' 03 2011
אי-שוויונות בשאלות מילוליותקבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF, מצגת PPT
השוואה בין גורמים שונים היא חלק מחיי היומיום שלנו. במתמטיקה השוואות מתורגמות למשוואות ולאי-שוויונות המקבלים ייצוגים שונים: מילולי, גרפי, מספרי, ואלגברי.
בפתרון שאלה מילולית המתארת השוואה, נדרשת אוריינות מתמטית. הפותר צריך להבין את הנקרא, ולדעת לתרגם את התיאור המילולי לייצוג מתמטי אחר (גרפי, מספרי או אלגברי) אשר יוביל לתשובה.
התמודדות עם שאלות מילוליות המתארות אי-שוויון, דורשת הבנה של דקויות מילוליות. אוצר המונחים הלשוניים המתארים מצבי אי-שוויון רבים ומגוונים. ההבדלים הדקים בין מושגי האי-שוויון דורשים הבנה מעמיקה של הטקסט. למשל, המשפט "לדני יש 8 גולות לכל היותר" מתורגם ל-
והמשפט "לדני יש יותר מ-8 גולות" מתורגם ל- 
. ה"כיוון" של סימן האי-שוויון שונה וגם האי-שוויון הראשון הוא אי-שוויון חלש (מאפשר גם את השוויון עצמו) בעוד השני הוא אי-שוויון חזק (אינו מאפשר את השוויון עצמו).
ביחידה זו נתמקד במשמעות הלוגית של אי-שוויון ובפתרון שאלות מילוליות המתארות אי-שוויון:
- נעסוק בדקויות ההבחנה בין המונחים המתארים אי-שוויונות.
- נבדיל בין מונחים המאפשרים שימוש באי-שוויון חלש או חזק.
- בפתרון השאלות נשתמש, במידת האפשר, בדרכים שונות ובייצוגים מגוונים.
אוג' 03 2011
כפל של מספרים שלילייםקבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF
פעולת הכפל במספרים השליליים היא פעולה המוגדרת באופן מתמטי פורמלי ולאו דוקא אינטואיטבי. זו אחת הפעולות הראשונות שפוגש התלמיד בבית הספר שמקורן אינו בהתנסויות מוחשיות ואינטואיטיביות. השרירותיות של החוקים המתמטיים מהווה לעיתים אבן נגף ברצף הלמידה של הרחבת המספרים וראשית האלגברה.
ביחידה זו נבחן הסברים שונים המקובלים בהוראה, בכדי להצדיק את חוקי הכפל במספרים השליליים ובפרט מדוע כפל של שני מספרים שליליים הוא חיובי. הצגת המספרים השליליים ופעולות החיבור והחיסור בהם נלמדות בדרך כלל בתווך של מודלים דידקטיים כגון חיצים על ציר המספרים, מודל האסימונים וכדומה (ראו סקירה נרחבת ביחידה "להיות מודל למספר שלילי"). ביחידה זו נשאל האם וכיצד נמשיך להשתמש במודלים להוראת פעולת הכפל במספרים שליליים וכן אילו אסטרטגיות מתאימות להצגת פעולת הכפל במספרים השליליים.
יחידה זו עוקבת ליחידה "להיות מודל למספר שלילי", אך יכולה לעמוד גם בפני עצמה.
![clip_image001[16]](http://highmathbb.haifa.ac.il/wp-content/uploads/2011/11/clip_image001161.gif "clip_image001[16]"){kind=small}
= (Area(P1∩P2![clip_image003[5]](http://highmathbb.haifa.ac.il/wp-content/uploads/2011/11/clip_image00351.gif "clip_image003[5]"){kind=small}
ומכאן, ![clip_image005[5]](http://highmathbb.haifa.ac.il/wp-content/uploads/2011/11/clip_image00551.gif "clip_image005[5]"){kind=small}
ולכן, ערך הביטוי![clip_image007[5]](http://highmathbb.haifa.ac.il/wp-content/uploads/2011/11/clip_image00751.gif "clip_image007[5]"){kind=small}
גדול מערד הביטוי ![clip_image009[5]](http://highmathbb.haifa.ac.il/wp-content/uploads/2011/11/clip_image00951.gif "clip_image009[5]"){kind=small}
.