highmathbb

על מרובעים והגדרות שקולות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

נושא המרובעים הינו אחד הנושאים המרכזיים בתוכנית הלימודים בגיאומטריה לכיתה ט'.  בהתאם לתוכנית הלימודים לכיתה ט' נלמד נושא זה בגישה דדוקטיבית תוך שימת דגש על הגדרות מושגים, משפטים מתמטיים והוכחתם. הגישה הננקטת להוראת נושא זה כפי שהיא באה לידי ביטוי בתוכנית הלימודים החדשה מתחילה בהוראת המקבילית דרך המלבן (מרובע אותו למדו התלמידים בכיתה ז'  והוגדר כמרובע בעל ארבע זויות ישרות), המעוין,  הריבוע, הדלתון והטרפז כלומר ההוראה מתבצעת בדרך של "הורדה"  של חלק מהתנאים המספיקים שנכללים בהגדרת המרובע, והוספת תנאים הכרחיים למושג.

היחידה מתייחסת להיבטים מתמטיים ודידקטיים הקשורים למבנה המשפט המתמטי והגדרת המושג. היחידה מעודדת:

- הכרות עם גישות שונות (מתמטיות ודידקטיות) להוראת משפחת המרובעים.

- הכרות עם ריבוי ההגדרות ושקילות טענות מתמטיות היכולות לשמש כהגדרות לאותו מושג.

- דיון בהיבטים מתה-מתמטיים הממוקדים בבחירת "ההגדרה הטובה".

- דיון על האופן בו משפיעה בחירת ההגדרה על סדר הוראת המושגים.

- הכרות עם נושא הסימטריה (סימטריה שקופית ומרכזית מהוות חלק מהנושאים הנדרשים במבחן הטימס) והשימוש בסימטריה בהגדרת בנושא המרובעים.

טרנספורמציות של פונקציות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

טרנספורמציות הן כלי מתמטי ליצירת משפחה של פונקציות. הן מעודדות להסתכל על הפונקציה כדוגמה או כפרט במשפחה. "חוש לפונקציות"  כולל גם את היכולת לשייך פונקציה למשפחה שלה ולזהות את התכונות המשותפות למשפחה (Confrey, 1994) והטרנספורמציות הן כלי לנוע בין הפונקציות בתוך המשפחה.

תלמיד שפיתח יכולות להבין ולדמיין טרנספורמציות על פונקציות בייצוגן הגרפי והאלגברי ומזהה פונקציה כשייכת למשפחה,  יוכל להשתמש בטרנספורמציות ככלי שימושי כמעט בכל נושא הנוגע לפונקציות,  כגון הכרות עם משפחות שונות של פונקציות, נגזרות, מניפולציות אלגבריות ועוד.

נעסוק כאן בארבעה סוגים יסודיים של טרנספורמציות לינאריות:
- הזזה אנכית
- הזזה אופקית
- מתיחה אנכית
- מתיחה אופקית
- שיקופים.

מצולעים

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

עיסוק במצולעים בעלי יותר מ- 4 צלעות, פותח אפשרויות להצגת משולשים ומרובעים כמקרים פרטיים של מצולעים (כלליים) ויכול להוביל להעמקה והרחבה של מושגים ותכונות רבות כמו אלכסונים, זוויות פנימיות וחיצוניות במצולע, מצולע משוכלל, סכום זוויות במצולע וכדומה. עיסוק במושג "המצולע" מאפשר שילוב של פעולות חקר בשיעורי מתמטיקה, פותח אפשרויות לשאלת שאלות, להעלאת השערות, מוביל להכללות והוכחות.

רב המשימות ביחידה יכולות לשמש דוגמה להוראה קדם דדוקטיבית בגיאומטריה. 

מטרות היחידה: העמקה במושגי יסוד הקשורים במצולעים בדרך חווייתית, הצגת דוגמה ללמידת מושג מתוך דוגמאות מתאימות, הצגת דוגמה ללימוד בדרכי חקר.

יחידה זאת מעשירה מורים בנושא הנחשב מוכר. הפעילויות בנויות בצורת בעיות חקר דבר המעודד הוראה הדרגתית ומאפשר הוראה לא-פרונטאלית. היחידה ניתנת ברובה ליישום בכתות, היא מתאימה לכל קבוצת גיל ואפשר לשלב חלקים ממנה ברמות שונות.

פונקציה ריבועית

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה מציגה את הפונקציה הריבועית בייצוגים סימבוליים שונים ובייצוג הגרפי (פרבולה).
היחידה מדגישה את היתרונות של כל הצגה סימבולית, תוך שימוש ביישומים דינאמים לפעילות חקר על הקשר והאיכויות של כל הצגה.
בשנות השמונים רווחה התיאוריה הקונסטרוקטיביסטית להוראת המתמטיקה עיקר תיאוריה זו היא שהלמידה היא תהליך פנימי, בו הלומד בונה ידע חדש על בסיס הבנייה אישית של הלומד מתוך ידע קיים. לכן, חשוב שלימוד המתמטיקה יביא ליצירת קשר בין הידע הנרכש לבין הידע הקיים.
סדנה אחת עוסקת בבניית פונקציה ריבועית כמכפלה של שתי פונקציות לינאריות. הפונקציות הלינאריות מוכרות לתלמידים, וממכפלתם, ניתן ללמוד על רב התכונות של הפונקציה הריבועית.
ויתר הסדנאות עוסקות בדגשים של הייצוגים הסימבוליים השונים ובמשפחות של פונקציות.

מבוא לפונקציות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

"מושג הפונקציה מאפשר ארגון ומיזוג של רעיונות מתמטיים חשובים ובעלי משמעות עבור התלמידים" (מתוך תוכנית הלימודים של חטיבת הביניים).
יחידה זו מציגה מבוא כללי למושג הפונקציה שהוא מושג בסיסי בלימודי המתמטיקה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה. יחידה זו כוללת רקע מתמטי, היסטורי ודידקטי גם עבור היחידות: 
- פונקציה ריבועית
- טרנספורמציות ליניאריות

הוכחות גאומטריות לזהויות אלגבריות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

מטרת היחידה – בניית ייצוגים גיאומטריים להוכחות של זהויות אלגבריות ופיתוח יכולת הבניית מושגים בצורה עצמאית.

כיום, בעידן המחשבים, הולכת וגוברת ההכרה בכך שלייצוגים ויזואליים יש פוטנציאל העשוי לתרום לתהליך הלמידה, להעשיר אותו, ולהביא להבנה מעמיקה של מושגים מתמטיים.

טכניקה אלגברית

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF

יחידה זו עוסקת במיומנויות נדרשות בטכניקה אלגברית בשילוב של דרכי חשיבה שונות.
ביחידה זו נעסוק במיומנויות הבאות:
1.    כינוס איברים דומים
2.    פתיחת סוגריים (חוק הפילוג וחוק הפילוג המורחב)
3.    נוסחאות לכפל מקוצר
4.    פירוק לגורמים בשיטות שונות: הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים, קיבוץ איברי הפולינום, פירוק של טרינום ריבועי
5.    הרחבה וצמצום של שברים אלגבריים
6.    מציאת מכנה משותף של שברים אלגבריים הנדרש לביצוע חיבור וחיסור שלהם
7.    כפל וחילוק של שברים אלגבריים
8.    שימוש בחוקי חזקות וחוקי השורש הריבועי

בגרסה הראשונה של האוגדן, אשר הודפסה וחולקה לכם הופיעו מספר טעויות ואי-דיוקים.

אנו מפרסמים רשימת תיקונים. מומלץ לתקן ידנית בגרסתכם, או להדפיס מחדש את עמודים הרלוונטיים.

שימו לב: מספרי העמודים בטבלה מתאימים למספרי העמודים של גרסת האוגדן שבידיכם. בגרסה הנמצאת באתר (אשר כבר כוללת את כל התיקונים), מספרי העמודים יכולים להיות שונים מעט.

רשימת תיקונים בקובץ PDF

אם גיליתם טעויות נוספות – אנא יידעו אותנו.

הסתברות – החוקיות של האי-ודאות

קבצים מצורפים: היחידה כקובץ PDF, מצגת PPT

יחידה זו מציגה ארבע בעיות בהסתברות שעשויות לפתח חשיבה הסתברותית וחשיבה ביקורתית.

כיום, בעולם המודרני, השימוש במונחי הסתברות הולך וגובר, אם בהתנסחויות התקשורתיות בתחומי החיים השונים ואם בשפת היומיום. לכן חשוב לבסס אצל התלמידים עולם מושגים הסתברותיים, לפתח יכולת ניתוח בעיות הסתברותיות וכושר ביקורת להצהרות הסתברותיות.

לכל אחד מאיתנו יש אינטואיציה לגבי סיטואציות יומיומיות בלתי ודאיות בחיינו, אך לא תמיד הן מתיישבות עם תורת ההסתברות. קיום הסתירה לכאורה בין מדע ההסתברות לבין החשיבה ההגיונית שלנו, משאיר אותנו לעתים עם גורם ההפתעה בקשר לתשובה החישובית. בפעילות ביחידה זו נראה שחישובי ההסתברויות לא תמיד עולים בקנה אחד עם שיקול הדעת האינטואיטיבי שלנו לגבי סיטואציות הסתברותיות. יחד עם זאת נראה שניתן לפתח חשיבה איכותנית ולוגית לפתרון הבעיות, ללא חישובים, יחד עם ייצוגים מגוונים המסייעים להבנת הבעיות.

שטחים ועוד…

קבצים מצורפים: מצגת PPT

בתוכנית הלימודים נכתב כי "על הגיאומטריה להִלמד כחלק מהתרבות האנושית". ברוח זו אנו נתייחס אל ההתפתחות ההסטורית של הגיאומטריה ולמבנה האקסיומטי דדוקטיבי שלה.

מושג השטח הוא מושג בסיסי בלימודי הגיאומטריה השזור לאורך כל תוכנית הלימודים ומקושר לנושאים רבים במתמטיקה כגון הוכחות (למשל, במשפט פתגורס), הנדסה אנליטית, אינטגרלים, הצגה גיאומטרית של בעיות באלגברה (למשל, נוסחאות לכפל מקוצר) ועוד. מושג השטח מזמן פעילויות רבות בהיבטים חשובים בגיאומטריה כמו מערכת אקסיומטית, יחס שקילות, הוכחה ויזואלית, הוכחה דדוקטיבית, סימטריה, חפיפה וכו'. בהתאם לזאת, נגזר שמו של אוסף היחידות "שטחים ועוד…" והמבנה שלו כולל מבוא וארבע יחידות:

שטחים ועוד – מבוא

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

כל יחידה עומדת בפני עצמה כיחידת הדרכה/לימוד נפרדת. לכל אחת מהיחידות נכתב חומר רקע המתאים לתכני היחידה הכולל: רקע היסטורי, רציונאל, הקשר של הנושא לתוכנית הלימודים, סדנאות, פתרונות והצעות דידקטיות למדריך. יחד עם זאת, נפתח בסקירה כללית של מספר נושאים משותפים.

יחידה 1 – מצולעים חופפי גזירה

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת במושג השטח ומדידת שטחם של מצולעים וכוללת רקע היסטורי על התפתחות מושג השטח ושיטות המדידה בתקופתו של אוקלידס. ביחידה זו נכיר את המושג מצולעים חופפי גזירה ונחקור מצולעים בעלי שטח שווה ללא שימוש בנוסחאות שטח. נדגים הוכחות של משפטים באמצעות אביזרים מוחשיים כגון: גזירה וסידור מחדש של מצולעים ובאמצעות יישומים דינאמים כבסיס להוכחות הפורמליות דדוקטיביות. הפעילויות בעצמים המוחשיים ובייצוגים הממוחשבים והרפלקציה על פעילויות כאלה מביאות להפנמה של מושגים גאומטריים ומפתחת כשרים גאומטריים, כמו למשל, היכולת לדמיין שינויים שעשויים לקרות בצורה, בעקבות ביצוע טרנספורמציה עליה. פעילויות אלה מפתחות חשיבה לוגית והבנת מבנה גאומטרי (על פי תוכנית הלימודים של בית הספר היסודי).

יחידה 2 – השטח על פי אוקלידס

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת במושג השטח ובמדידת שטחם של מצולעים על פי תורתם של היוונים כפי שניסח אוקלידס בספרו "יסודות". ביחידה זו נכיר את מערכת האקסיומות שעמדה בבסיס הגיאומטריה האוקלידית, נכיר שיטות למציאת שטח של מצולעים ונתנסה בהוכחת משפטים גיאומטריים ובבניות מתוך ספר "היסודות", ללא שימוש בנוסחאות השטח. ביחידה זו נעמיק את ההכרות עם הגישה האקסיומטית במתמטיקה ובגיאומטריה ובבניית הוכחות דדוקטיביות בתוך המסגרת של המערכת האקסיומטית. הפעילויות הסדנהיות, הכוללות גם יישומים דינאמיים, נועדו לעודד פיתוח חשיבה דדוקטיבית ויצירת הוכחות פורמליות. מלבד זאת מזמנות הסדנהות את לימוד ההיסטוריה של התקופה, תוך התנסות בבעיות (הגיאומטריות) ולהכרת הפתרונות שהוצעו עבורן. מסיבה זו כוללת היחידה את הרקע ההיסטורי על ראשית הגיאומטריה האוקלידית.

יחידה 3 – השטח במבט מודרני

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת במושג השטח ובמדידת השטח של מצולעים. מושג השטח, כפי שאנו משתמשים בו כיום, הוגדר במאה ה-19 כמערכת אקסיומטית אשר ביסוד תורת המדידה. על בסיס אקסיומות השטח הללו נמצא ונוכיח את נוסחאות השטח של מלבן, מקבילית, משולש, וטרפז. ביחידה זו נעמיק את ההכרות עם הגישה האקסיומטית במתמטיקה בכלל ובגיאומטריה בפרט, ועם בניית הוכחות דדוקטיביות של משפטים הנובעים מתוך מערכת האקסיומות.

הפעילויות הסדנאיות, הכוללות גם שימוש ביישומים דינאמיים, קיפולי נייר, הוכחות ויזואליות ועוד נועדו לעודד פיתוח של חשיבה דדוקטיבית ויצירת הוכחות פורמליות לנוסחאות השטח המוכרות.

יחידה 4 – על שטחים ומשפטים – חדש!

קבצים מצוררפים: היחידה כקובץ PDF

היחידה עוסקת בהוכחה של משפטים ידועים בעזרת שטחים. ביחידה דוגמאות של משפטים ידועים ובעיות גיאומטריות הקשורות לחלוקת שטחים. השימוש בשטח בדוגמאות המוצגות מפשט את ההוכחה ועל ידי כך נותן לתלמיד כלים להתמודדות מוקדמת יותר עם חלק מהמשפטים. בנוסף, הוא מהווה דוגמא לפתרון אלגנטי (המציג יופי מתמטי) ועשוי לתרום להרחבת דרכי הפתרון לבעיה נתונה (פיתוח יצירתיות).
הנושאים המרכזיים: שימוש בשטח ככלי להוכחה, בעיות חקר, בעיות עם דרכי פתרון רבות.